ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Bethe-Formel</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Bethe-Formel</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Bethe-Formel (auch Bethe-Gleichung, Bethe-Bloch-Formel, Bethe-Bloch-Gleichung oder Bremsformel) gibt den Energieverlust pro Weg an, den schnelle geladene schwere Teilchen (z. B. <a href="Proton" title="Proton">Protonen</a>, <a href="Alphastrahlung" title="Alphastrahlung">Alphateilchen</a>, <a href="Ion" title="Ion">Ionen</a>) beim Durchgang durch Materie durch inelastische Stöße mit den Elektronen erleiden; die übertragene Energie bewirkt im Material <a href="Angeregter_Zustand" title="Angeregter Zustand">Anregung</a> oder <a href="Sto%C3%9Fionisation" title="Stoßionisation">Ionisation</a>. Dieser Energieverlust, auch als elektronische Abbremsung oder ungenau als Ionisationsverlust bezeichnet, hängt ab von Geschwindigkeit und Ladung der Projektilteilchen und vom Targetmaterial.

Die klassische nicht-<a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">relativistische</a> Formel hat schon 1913 <a href="Niels_Bohr" title="Niels Bohr">Niels Bohr</a> aufgestellt<a href="#cite_note-1">[1]</a>, die quantenmechanisch nicht-relativistische Formel wurde dann 1930, die unten gezeigte quantenmechanisch-<a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">relativistische</a> Version 1932 von <a href="Hans_Bethe" title="Hans Bethe">Hans Bethe</a> aufgestellt.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Die Bethe-Bloch-Formel gilt nicht für einfallende Elektronen<a href="#cite_note-3">[3]</a>. Zum einen ist für diese der Energieverlust wegen ihrer <a href="Ununterscheidbarkeit" class="mw-redirect" title="Ununterscheidbarkeit">Ununterscheidbarkeit</a> mit den Hüllenelektronen des Materials anders. Zum anderen kommt bei Elektronen aufgrund ihrer geringen Masse ein bedeutender Energieverlust durch <a href="Bremsstrahlung" title="Bremsstrahlung">Bremsstrahlung</a> hinzu. Der Energieverlust von Elektronen kann stattdessen mit Hilfe der Berger-Seltzer-Formel beschrieben werden.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Weitere Mechanismen, die zum Gesamt-Energieverlust schneller geladener schwerer Teilchen in Materie beitragen können, sind die nukleare Abbremsung (elastische Coulomb-Stöße mit den Atomkernen, siehe <a href="Bremsverm%C3%B6gen" title="Bremsvermögen">Bremsvermögen</a>) und die <a href="Bremsstrahlung" title="Bremsstrahlung">Bremsstrahlung</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Die_Formel">Die Formel</h2></div>

Bewegen sich schnelle geladene Teilchen durch Materie, führen sie inelastische Stöße mit den Hüllenelektronen des Materials aus. Dies führt zur Anregung oder zur Ionisation der Atome. Dadurch erleidet das durchquerende Teilchen einen Energieverlust, der durch die folgende Formel näherungsweise angegeben wird. Ihre relativistische Form lautet:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

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</mfrac>

</mrow>

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<mrow>

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</mrow>

</msup>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

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<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} x}}={\frac {4\pi nz^{2}}{m_{\rm {e}}c^{2}\beta ^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{\rm {e}}c^{2}\beta ^{2}}{I\cdot (1-\beta ^{2})}}\right)-\beta ^{2}\right]\qquad \qquad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9933ce49d06c6192caadf6f996ccd4ca456bd472.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:64.632ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} x}}={\frac {4\pi nz^{2}}{m_{\rm {e}}c^{2}\beta ^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{\rm {e}}c^{2}\beta ^{2}}{I\cdot (1-\beta ^{2})}}\right)-\beta ^{2}\right]\qquad \qquad }" loading="lazy"> (1)</dd></dl>

wobei

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy">

</td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v/c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd5fbfe05e197127354e233f6c813e6b5d846672.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.297ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v/c}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy">

</td>

<td>= momentane Geschwindigkeit des Teilchens

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy">

</td>

<td>= Lichtgeschwindigkeit

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">

</td>

<td>= Energie des Teilchens

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">

</td>

<td>= Weglänge

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">

</td>

<td>= Ladungszahl des Teilchens (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\cdot e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\cdot e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80efe61f2ae9bd81f5338f383238b1595841c816.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.851ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z\cdot e}" loading="lazy"> = Ladung des Teilchens)

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acb0a8377db20e42274444cb181d51b5532b5844.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.138ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{0}}" loading="lazy">

</td>

<td>= <a href="Elektrische_Feldkonstante" title="Elektrische Feldkonstante">Elektrische Feldkonstante</a>

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy">

</td>

<td>= Elementarladung

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">

</td>

<td>= Elektronendichte des Materials

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{\rm {e}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b851e51e5663a2a922853bdbf69003072950aef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.003ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{\rm {e}}}" loading="lazy">

</td>

<td>= Masse des Elektrons

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy">

</td>

<td>= mittleres Anregungspotential des Materials (<a href="#Das_mittlere_Anregungspotential">s. u.</a>)

</td></tr></tbody></table>

Die Elektronendichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> lässt sich dabei mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n={\frac {Z\cdot \rho }{A\cdot u}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n={\frac {Z\cdot \rho }{A\cdot u}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a697f42144b48dae31b26103f47e0afcbeebb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:10.081ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle n={\frac {Z\cdot \rho }{A\cdot u}}}" loading="lazy"> berechnen; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" loading="lazy"> ist die Dichte des Materials, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> Ordnungs- bzw. Massenzahl des Materials und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"> die <a href="Atomare_Masseneinheit" title="Atomare Masseneinheit">atomare Masseneinheit</a>.

Im Bild rechts bedeuten die kleinen Kreise Messergebnisse von verschiedenen Arbeitsgruppen<a href="#cite_note-5">[5]</a>; die rote Kurve stellt die Bethe-Formel dar. Offenbar ist die Übereinstimmung von Bethes Theorie mit den Experimenten oberhalb von 0,5 MeV sehr gut, besonders wenn die Korrekturen (s. u.) hinzugefügt werden (blaue Kurve).

Für kleine Energien, d. h. kleine Teilchengeschwindigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\beta \ll 1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\beta \ll 1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4ef1c145ae273e78234c0fb7ed32164f7c7439a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.918ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\beta \ll 1)}" loading="lazy">, reduziert sich die Bethe-Formel auf

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

<mfrac>

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<mrow>

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<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} x}}={\frac {4\pi nz^{2}}{m_{e}v^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \ln \left({\frac {2m_{e}v^{2}}{I}}\right).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b00592047ed9a424a3d8eb4826dbfb146550815a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:42.209ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} x}}={\frac {4\pi nz^{2}}{m_{e}v^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \ln \left({\frac {2m_{e}v^{2}}{I}}\right).}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei kleinen Energien ist die Bethe-Formel nur dann gültig, wenn diese noch hoch genug sind, dass das durchquerende Teilchen keine Hüllenelektronen mit sich führt. Anderenfalls wird seine effektive Ladung dadurch reduziert, und das Bremsvermögen ist kleiner. Es gibt für kleine Energien eine verfeinerte Theorie der elektronischen Abbremsung von Jens Lindhard, Morten Scharff und Hans E. Schiøtt (<a href="LSS-Theorie" title="LSS-Theorie">LSS-Theorie</a>)<a href="#cite_note-6">[6]</a>. Näherungsweise wird auch die Barkas-Formel<a href="#cite_note-7">[7]</a> für die effektive Ladungszahl benutzt:

<msub>

</mrow>

</msub>

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<mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{\mathrm {eff} }=z\left(1-\exp \left(-125\beta z^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36568e3c7a848da83e1a2f8a5a15bf426c7cecfd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:32.97ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle z_{\mathrm {eff} }=z\left(1-\exp \left(-125\beta z^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Allgemein fällt der Energieverlust mit steigender Energie zunächst etwa mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/v^{2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/v^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d129604233f925dee796f1dccea48ef4e236e6d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.507ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 1/v^{2}}" loading="lazy"> ab und erreicht ein Minimum bei etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=3m_{T}c^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=3m_{T}c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62e9df5880ae978a6c4e2646f4d53ad8eeebc1d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.527ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E=3m_{T}c^{2}}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{T}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2767d339e0bb9818b1057574bed41e54d9ece4d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.43ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{T}}" loading="lazy"> die Masse des Teilchens ist (also z. B. für Protonen etwa bei 3 GeV, was im Bild nicht mehr sichtbar ist). Da für viele in der <a href="Teilchenphysik" title="Teilchenphysik">Teilchenphysik</a> relevante Strahlungsteilchen und Absorbermaterialien der Energieverlust in der Nähe des Minimums ungefähr den gleichen Wert hat, werden Teilchen mit einer Energie in der Nähe des Minimums häufig zusammengefasst und als MIPs (Minimum Ionizing Particles, dt. minimal ionisierende Teilchen) bezeichnet. Als Faustformel für den spezifischen Energieverlust der MIPs gilt:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} x}}\approx 2{\frac {\mathrm {MeV} \mathrm {cm} ^{2}}{\mathrm {g} \;}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e110aa9fbf3740593e7f111739aa85dfaf6393d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.777ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} x}}\approx 2{\frac {\mathrm {MeV} \mathrm {cm} ^{2}}{\mathrm {g} \;}}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-8">[8]</a>.</dd></dl>

Bei noch höherer Energie steigt der Energieverlust wieder an. Bei sehr hohen Energien müssen auch Teilchenreaktionen berücksichtigt werden, die zu Sekundärteilchen führen. Der Energieverlust kann daher in materialabhängiger Weise noch stärker ansteigen.

In der <a href="Strahlenbiologie" title="Strahlenbiologie">Strahlenbiologie</a> nennt man die Energieabgabe ionisierender Teilchen gemäß der Bethe-Bloch-Gleichung den <a href="Linearer_Energietransfer" title="Linearer Energietransfer">Linearen Energietransfer</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle LET_{\infty }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle LET_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85ce118261520d8bf9b936631244187283061aa7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.591ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle LET_{\infty }}" loading="lazy">) und verwendet die Einheit Kiloelektronenvolt pro Mikrometer (keV/µm).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_mittlere_Anregungspotential">Das mittlere Anregungspotential</h2></div>

Im Gültigkeitsbereich der Bethe-Formel (1) wird das durchdrungene Material neben der Teilchendichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> nur durch eine einzige Konstante, das mittlere Anregungspotential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy">, beschrieben.

<a href="Felix_Bloch_(Physiker)" class="mw-redirect" title="Felix Bloch (Physiker)">Felix Bloch</a> hat 1933 gezeigt<a href="#cite_note-9">[9]</a>, dass das mittlere Anregungspotential der Atome im Mittel etwa

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=(10\,\mathrm {eV} )\cdot Z\qquad \qquad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93f4ea22d4bae70442f982dd13c507a464b8d6f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.217ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I=(10\,\mathrm {eV} )\cdot Z\qquad \qquad }" loading="lazy"> (2)</dd></dl>

beträgt, wo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy"> die <a href="Ordnungszahl" title="Ordnungszahl">Ordnungszahl</a> der Atome des Materials bedeutet. Setzt man diese Größe in Formel (1) oben ein, so führt das zu einer Gleichung, die oft als Bethe-Bloch-Gleichung bezeichnet wird. Es gibt aber genauere Tabellen<a href="#cite_note-ICRU49-10">[10]</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> als Funktion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">. Mit ihnen erhält man bessere Resultate als mit Formel (2).

Im Bild ist das mittlere Anregungspotential der verschiedenen Elemente gezeigt, das die Information über das jeweilige Atom enthält. Die Daten stammen aus dem genannten ICRU-Report.<a href="#cite_note-ICRU49-10">[10]</a> Den Spitzen und Tälern in der Darstellung („<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c98d433ae289ecb2b88f895b407538b0e4183b28.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.642ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Z_{2}}" loading="lazy">-Oszillationen“, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c98d433ae289ecb2b88f895b407538b0e4183b28.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.642ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Z_{2}}" loading="lazy"> die Ordnungszahl des Materials bedeutet) entsprechen niedrigere bzw. höhere Werte des Bremsvermögens; diese Oszillationen beruhen auf der <a href="Schalenmodell_(Atomphysik)" title="Schalenmodell (Atomphysik)">Schalenstruktur</a> der Atome. Wie das Bild zeigt, gilt Formel (2) nur näherungsweise.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Korrekturen">Korrekturen</h2></div>

Die Bethe-Formel wurde von Bethe mit Hilfe der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">quantenmechanischen</a> <a href="St%C3%B6rungstheorie_(Quantenmechanik)" title="Störungstheorie (Quantenmechanik)">Störungstheorie</a> abgeleitet, das Ergebnis ist daher dem Quadrat der Ladung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> proportional. Eine bessere Beschreibung erhält man, wenn man auch Abweichungen berücksichtigt, die höheren Potenzen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> entsprechen, und zwar den Barkas-Andersen-Effekt (proportional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z^{3}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8705461f87c505b475e26dee33ec60c04ef0aaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.145ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle z^{3}}" loading="lazy"> nach <a href="Walter_H._Barkas" title="Walter H. Barkas">Walter H. Barkas</a> und <a href="Hans_Henrik_Andersen" title="Hans Henrik Andersen">Hans Henrik Andersen</a>) und die Bloch-Korrektur (proportional <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z^{4}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z^{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c096f1d742e750670cc824f543e4ea2e1741df9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.145ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle z^{4}}" loading="lazy">). Auch muss die Bewegung der Hüllenelektronen im Atom des Materials berücksichtigt werden („Schalenkorrektur“).

Diese Korrekturen sind beispielsweise in den Programmen PSTAR und ASTAR des <a href="National_Institute_of_Standards_and_Technology" title="National Institute of Standards and Technology">National Institute of Standards and Technology</a> (NIST), die das Bremsvermögen für Protonen bzw. Alphateilchen berechnen, eingebaut.<a href="#cite_note-11">[11]</a> Die Korrekturen sind groß bei niedrigen Energien und werden immer kleiner, je größer die Energie wird.

Zusätzlich kommt bei sehr hohen Energien noch <a href="Enrico_Fermi" title="Enrico Fermi">Fermis</a> Dichtekorrektur<a href="#cite_note-ICRU49-10">[10]</a> hinzu.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>P. Sigmund: Particle Penetration and Radiation Effects, General Aspects and Stopping of Swift Point Charges (= Springer Series in Solid State Sciences. Vol. 151). Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-72622-7.</li>

<li>H. Bethe: <cite style="font-style:italic">Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Annalen der Physik</cite>. Band 397, Nr. 3, 1930, S. 325–400, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/andp.19303970303">10.1002/andp.19303970303</a> (Ursprüngliche Publikation von Bethe).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bethe-Formel&rft.atitle=Zur+Theorie+des+Durchgangs+schneller+Korpuskularstrahlen+durch+Materie&rft.au=H.+Bethe&rft.date=1930&rft.doi=10.1002%2Fandp.19303970303&rft.genre=journal&rft.issue=3&rft.jtitle=Annalen+der+Physik&rft.pages=325-400&rft.volume=397" style="display:none"> </li>

<li>F. Bloch: <cite style="font-style:italic">Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen beim Durchgang durch Materie</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Annalen der Physik</cite>. Band 408, Nr. 3, 1933, S. 285–320, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/andp.19334080303">10.1002/andp.19334080303</a> (Ursprüngliche Publikation von Bloch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bethe-Formel&rft.atitle=Zur+Bremsung+rasch+bewegter+Teilchen+beim+Durchgang+durch+Materie&rft.au=F.+Bloch&rft.date=1933&rft.doi=10.1002%2Fandp.19334080303&rft.genre=journal&rft.issue=3&rft.jtitle=Annalen+der+Physik&rft.pages=285-320&rft.volume=408" style="display:none"> </li>

<li>N. Bohr: <cite style="font-style:italic">On the theory of the decrease of velocity of moving electrified particles on passing through matter</cite>. In: <cite style="font-style:italic">The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science</cite>. Band 25, Nr. 145, 1913, S. 10–31, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1080/14786440108634305">10.1080/14786440108634305</a> (Vorarbeiten von Bohr).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bethe-Formel&rft.atitle=On+the+theory+of+the+decrease+of+velocity+of+moving+electrified+particles+on+passing+through+matter&rft.au=N.+Bohr&rft.date=1913&rft.doi=10.1080%2F14786440108634305&rft.genre=journal&rft.issue=145&rft.jtitle=The+London%2C+Edinburgh%2C+and+Dublin+Philosophical+Magazine+and+Journal+of+Science&rft.pages=10-31&rft.volume=25" style="display:none"> </li>

<li>N. Bohr: <cite style="font-style:italic">On the decrease of velocity of swiftly moving electrified particles in passing through matter</cite>. In: <cite style="font-style:italic">The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science</cite>. Band 30, Nr. 178, Oktober 1915, S. 581–612, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1080/14786441008635432">10.1080/14786441008635432</a> (Vorarbeiten von Bohr).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bethe-Formel&rft.atitle=On+the+decrease+of+velocity+of+swiftly+moving+electrified+particles+in+passing+through+matter&rft.au=N.+Bohr&rft.date=1915-10&rft.doi=10.1080%2F14786441008635432&rft.genre=journal&rft.issue=178&rft.jtitle=The+London%2C+Edinburgh%2C+and+Dublin+Philosophical+Magazine+and+Journal+of+Science&rft.pages=581-612&rft.volume=30" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://pdg.lbl.gov/2006/reviews/passagerpp.pdf">Durchgang geladener Teilchen durch Materie, inklusive Plot</a> (engl.; PDF-Datei; 512 kB)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/programs.html">Bremsvermögen für Protonen und Alphateilchen</a> (engl.)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www-nds.iaea.org/stopping/">Stopping Power Daten und Kurven</a> (engl.)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> N. Bohr: <cite style="font-style:italic">On the theory of the decrease of velocity of moving electrified particles on passing through matter</cite>. In: <cite style="font-style:italic">The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science</cite>. Band 25, Nr. 145, 1913, S. 10–31, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1080/14786440108634305">10.1080/14786440108634305</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bethe-Formel&rft.atitle=On+the+theory+of+the+decrease+of+velocity+of+moving+electrified+particles+on+passing+through+matter&rft.au=N.+Bohr&rft.date=1913&rft.doi=10.1080%2F14786440108634305&rft.genre=journal&rft.issue=145&rft.jtitle=The+London%2C+Edinburgh%2C+and+Dublin+Philosophical+Magazine+and+Journal+of+Science&rft.pages=10-31&rft.volume=25" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> P. Sigmund: Particle Penetration and Radiation Effects, General Aspects and Stopping of Swift Point Charges (= Springer Series in Solid State Sciences. Vol. 151). Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-72622-7.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> H. A. Bethe, J. Ashkin: <cite style="font-style:italic">Passage of radiation through matter</cite>. In: E. Segré (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Experimental Nuclear Physics</cite>. Vol. 1, Part II. New York 1953, S. 253.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bethe-Formel&rft.atitle=Passage+of+radiation+through+matter&rft.au=H.+A.+Bethe%2C+J.+Ashkin&rft.btitle=Experimental+Nuclear+Physics&rft.date=1953&rft.genre=book&rft.pages=253&rft.place=New+York&rft.volume=Vol.+1%2C+Part+II" style="display:none">

</li>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20131214003024/http://geant4.web.cern.ch/geant4/G4UsersDocuments/UsersGuides/PhysicsReferenceManual/html/node41.html">Ionization</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 14. Dezember 2013 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>)

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20120206072234/http://www.exphys.uni-linz.ac.at/Stopping/">Bildquelle</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 6. Februar 2012 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>)

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> K. Bethge, G. Walter, B. Wiedemann: Kernphysik. 3. Auflage, Springer, 2007, S. 118, 121.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <a href="J%C3%BCrgen_Kiefer_(Biophysiker)" title="Jürgen Kiefer (Biophysiker)">Jürgen Kiefer</a>: Biologische Strahlenwirkung. Eine Einführung in die Grundlagen von Strahlenschutz und Strahlenanwendung. Heidelberg (Springer) 1981, ISBN 978-3-642-67947-6, S. 47

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a href="Claude_Amsler" title="Claude Amsler">Claude Amsler</a>: <cite style="font-style:italic">Kern- und Teilchenphysik</cite>. vdf Hochschulverlag AG, 2007, ISBN 978-3-8252-2885-9, S. 116 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=eKGVz67GLp0C&pg=PA116#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bethe-Formel&rft.au=Claude+Amsler&rft.btitle=Kern-+und+Teilchenphysik&rft.date=2007&rft.genre=book&rft.isbn=9783825228859&rft.pages=116&rft.pub=vdf+Hochschulverlag+AG" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> F. Bloch: <cite style="font-style:italic">Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen beim Durchgang durch Materie</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Annalen der Physik</cite>. Band 408, Nr. 3, 1933, S. 285–320, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/andp.19334080303">10.1002/andp.19334080303</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bethe-Formel&rft.atitle=Zur+Bremsung+rasch+bewegter+Teilchen+beim+Durchgang+durch+Materie&rft.au=F.+Bloch&rft.date=1933&rft.doi=10.1002%2Fandp.19334080303&rft.genre=journal&rft.issue=3&rft.jtitle=Annalen+der+Physik&rft.pages=285-320&rft.volume=408" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-ICRU49-10">↑ <a href="#cite_ref-ICRU49_10-0">a</a> <a href="#cite_ref-ICRU49_10-1">b</a> <a href="#cite_ref-ICRU49_10-2">c</a> ICRU Report 49, Stopping Powers and Ranges for Protons and Alpha Particles. International Commission on Radiation Units and Measurements, Bethesda, MD, USA (1993)

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/programs.html">PSTAR and ASTAR Databases for Protons and Helium Ions</a>

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